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研究の掃溜ノオト

since 2011/2/13 知能ロボ研究の合間に思ったこととか書いてます。

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複素数について

 複素数というのはとても不思議な数です。
私たちが考える数というのは「りんごが”1個”ある」などのように物を数えるために使うものです。
もしくは「身長が”179.2cm”ある」などのように量を測るために使うものです。
物を数える数は自然数で量を測る数が実数なのだとして、複素数って何に使う数でしょう?

その疑問に答えることはできませんが、今回は複素数について一つ面白い性質を見つけたので紹介したいと思います。
複素数全ての集合が平面と同一視できることは有名な話で、この平面はガウス平面と呼ばれます。
そして複素数一つ一つはガウス平面上の点もしくはベクトルと同一視されます。
もう少し具体的に見てみましょう。
今複素数

z = a + bi
w = c + di

を考えこれと平面ベクトル

α = ( a, b )
β = ( c, d )

を対応させます。
この時、二つのベクトルの内積は

( α, β ) = ac + bd

となります。
この ac + bd は対応を考えずに複素数 z, w から直接計算できるでしょうか?
答えは

Re( zw^ ) = ac + bd

です。ただし w^ は w の共役複素数を表しています。
この zw^ って何なんでしょうか?見てみると

zw^ = ac + bd + i( bc - ad )

となっています。この虚部ってどこかで見たことありませんか?
これは行列
A= ( a b )
     ( c d )
の行列式 det(A) に -1 をかけたものになっています。つまり今までの記号を用いると

zw^ = ( α, β ) - i( det(A) )

となっているのです。これって偶然なんでしょうか?
代数的意味や幾何的な意味があるんでしょうか??
私にはわかりません。ヒントでもいいのでコメントしてくださるとうれしいです。


複素数の謎はまだまだ深まるばかり。ましてや4元数なんてわけわかランチャーのストラトスです。

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この記事へのコメント

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ヒントになるようなならないような。

行列の回転とかに関係してるんじゃないか、とか思いつつ、核心にふれるようなコメントは出来ない天パの緑眼鏡
ちょっと考えてみたくなった。
  • from 天パの緑眼眼鏡 :
  • 2011/06/28 (00:02) :
  • Edit :
  • Res

慰め程度にしかならない気がするけども

z=a(cosα+isinα)
w=b(cosβ+isinβ)
とすると、
zw^=ab(cos(α-β)+isin(α-β))
今、α-βはzとwのなす角(有向角度)なので
Re(zw^)=│z││w│cos(α-β)=z・w
Im(zw^)=+-(zとwの張る平行四辺形の面積)=-detA

最後の符号がなんかいまいちやけど、こんな感じ?
いいのかな。
結局計算して確かめただけになってるよね。うぅ。。。
  • from 天パの緑眼眼鏡 :
  • 2011/06/28 (01:10) :
  • Edit :
  • Res

ちょっと考えたこと

どうも、ちょっと失礼します。

おそらく、他の部分でも
ad-bcや、ac+bdはかなり出てくると思います。
というのも、
f(a,b)とf(c,d)という変数の取り方は、色々なところで現れるからです。(あえて関数にしてあります)
今回の複素数しかり、2次正方行列しかり…
4つの変数をきれいに並べて、その関係を見た時に、この二つの関係式は現れるんでしょう。

逆に、a*bという項があまり出てこないのは、
2変数で表される数、それ単体で作れてしまう数だからじゃないでしょうか。

つまり、2変数の組の関係を調べる時に限って特別な意味を持ちそうな値は、
ac,ad,bc,bdの4つという訳です。(abcdとかもありかも)
ここで、ac+adなどは、aを2回使ってしまっているため、
これが単体で式に出てくることはあまりないでしょう。
出てくるとすれば、bc+bdとペアで出てくることになるんじゃないでしょうか?

となると、残るのはac+bd、ad+bcです。
とはいえ、ここでad+bcとしてしまうと、ad-bcとは関係が内容にも思えますが…

ここで、なぜ符号が-になるものが多いのかと考えると、
もし ad+bc という項が特別な意味を持つとすると、
f(a,b)とf(c,d)という関数とf(b,a)とf(d,c)という関数での間でも、
ad+bcという項が特別な意味を持つことになります。
違う位置(1項目と2項目)にあるもの同士を掛け合わせたものなのに、
符号が+で結ばれるというのは、若干違和感があります。

となると、やはり-で結んだ項、ad-bcが特別な意味を持つことが多いのはなんとなくわかるような分からないような…

ac+bdが+で結ばれるのも、同じ理由だと考えます。

長くて終始曖昧&支離滅裂で申し訳ないです。
  • from まーす :
  • URL :
  • 2011/07/04 (22:28) :
  • Edit :
  • Res

細甲

(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ad+bc)^2+(ac-bd)^2だったりするので、+-の符号はあまり関係ないかも…すいません。
  • from まーす :
  • URL :
  • 2011/07/04 (23:23) :
  • Edit :
  • Res

無題

天パの緑眼眼鏡 さん まーすさん コメントありがとうございます。
確かに極座標表示で表せば内積と行列式の対応はずっと見通しが良くなりますね。
またabcdという4つの変数の組み合わせが比較的少数であることから意味のある組み合わせの数が限られるという話も興味深いです。
複素数は所詮二つの実数の組と一対一対応するので計算手段の豊富さに比べて組み合わせが少ない分あれこれ考えてしまうのかもしれませんw
コメントありがとうございました。
  • from i-horse :
  • 2011/07/08 (00:19) :
  • Edit :
  • Res

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