複素数について

 複素数というのはとても不思議な数です。
私たちが考える数というのは「りんごが”１個”ある」などのように物を数えるために使うものです。
もしくは「身長が”179.2cm”ある」などのように量を測るために使うものです。
物を数える数は自然数で量を測る数が実数なのだとして、複素数って何に使う数でしょう？

その疑問に答えることはできませんが、今回は複素数について一つ面白い性質を見つけたので紹介したいと思います。
複素数全ての集合が平面と同一視できることは有名な話で、この平面はガウス平面と呼ばれます。
そして複素数一つ一つはガウス平面上の点もしくはベクトルと同一視されます。
もう少し具体的に見てみましょう。
今複素数

z = a + bi
w = c + di

を考えこれと平面ベクトル

α = ( a, b )
β = ( c, d )

を対応させます。
この時、二つのベクトルの内積は

( α, β ) = ac + bd

となります。
この ac + bd は対応を考えずに複素数 z, w から直接計算できるでしょうか？
答えは

Re( zw^ ) = ac + bd

です。ただし w^ は w の共役複素数を表しています。
この zw^ って何なんでしょうか？見てみると

zw^ = ac + bd + i( bc - ad )

となっています。この虚部ってどこかで見たことありませんか？
これは行列
A= ( a b )
     ( c d )
の行列式 det(A) に -1 をかけたものになっています。つまり今までの記号を用いると

zw^ = ( α, β ) - i( det(A) )

となっているのです。これって偶然なんでしょうか？
代数的意味や幾何的な意味があるんでしょうか？？
私にはわかりません。ヒントでもいいのでコメントしてくださるとうれしいです。


複素数の謎はまだまだ深まるばかり。ましてや4元数なんてわけわかランチャーのストラトスです。

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